
\prob{006C}{整数长度四边形}

\begin{figure}
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  \image{006C}
  \caption{006C：整数长度四边形} \label{fig:006C}
\end{figure}

四边形$ABCD$的面积为$32$，其中线段$AB, CD, AC$都是整数，且其和为$16$，$AB \le CD$，求满足条件的四边形的$AB, CD, AC$。
\problabels{yellow/平面几何, yellow/数论, green/长度问题, green/代数求值问题}

\ans{$AB = 1, CD = 7, AC = 8$；$AB = 2, CD = 6, AC = 8$；$AB = 3, CD = 5, AC = 8$；$AB = CD = 4, AC = 8$。}

\subsection{不等式} \label{subsec:006C-neqf}

基本思路：作三角形的高线，然后利用高线的性质，列出不等式求解。

\begin{figure}
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  \image{006C-neqf}
  \caption{\nameref{subsec:006C-neqf}：作三角形的高线。} \label{fig:006C-neqf}
\end{figure}

如图~\ref{fig:006C-neqf}，将$\triangle ABC$在$AB$上的高记作$h_1$，$\triangle ACD$在$CD$上的高记作$h_2$，并记$a = AB, b = CD, l = AC$。

由$h_1 \le l, h_2 \le l$有$h_1a + h_2b \le l(a + b)$，即

\begin{align*}
  \frac12(h_1a + h_2b) &\le\frac12l(a + b) \\
  2S_{ABCD} &\le l(a + b) \\
\end{align*}

由题知$S_{ABCD} = 32$知$l(a + b) \ge64$。又由$a + b + l = 16$知$a + b = 16 - l$，故

\begin{align*}
  l(a + b) &= l(16 - l) \\
  &= 64 - (l - 8)^2 \le64 \\
\end{align*}

故$l(a + b) = 64$，解得$l = a + b = 8$。而$a \le b$，故有$4$个四边形：$a = 1, b = 7, l = 8$；$a = 2, b = 6, l = 8$；$a = 3, b = 5, l = 8$；$a = b = 4, l = 8$。
